高级微观总结:从支出函数到效用函数


这学期在学高级微观经济学,学了如何由效用函数出发得到支出函数,但一直不会反过来计算。直到期末考试复习的时候看到了如何由成本函数推导生产函数。

从成本函数到生产函数

假设有生产函数 \(f(\mathbf{x}),\mathbf{x}\in \mathbb{R}^n_+\),要素价格是 \(\mathbf{w}\in \mathbb{R}^n_+, \mathbb{w}\gg 0\), 要求成本函数 \(C(\mathbf{w}, y)\), 是如下求解 \[ \max C(\mathbf{w}, y)=\mathbf{w}' \mathbf{x}\\ s.t. \quad f(\mathbf{x}) \geq y \] 反过来,假设我们已经有成本函数 \(C(\mathbf{w}, y)\) 了,要求生产函数 \(f(\mathbf{x})\), 按如下步骤进行: \[ f(\mathbf{x}) \equiv \max \{q \geq 0 \mid \mathbf{w} \cdot \mathbf{x} \geq c(\mathbf{w}, q), \forall \mathbf{w} \gg 0\} \]

  1. 计算生产可行性集合 PPS, \[ \mathbf{Y}_{\mathbf{w}, \mathbf{x}} \equiv\{q: c(\mathbf{w}, q) \leq \mathbf{w} \cdot \mathbf{x}\} \]

  2. 计算所有生产可能性集合的交集(关于价格 \(\mathrm{w}\) 取交集)

\[ \mathbf{Y}_{\mathbf{x}} \equiv \bigcap_{\mathbf{w}} \mathbf{Y}_{\mathbf{w}, \mathbf{x}} \]

  1. 找到其中最大的元素 \[ f(\mathbf{x})=q=\max \mathbf{Y}_{\mathbf{x}} \]

这样我们就从成本函数推导出了生产函数。

从支出函数到效用函数

从效用函数到支出函数很容易,从支出函数 \(e(\mathbf{p},u)\) 到效用函数 \(u(\mathbf{x})\) 的过程就和上述过程差不多,具体如下 \[ u({\bf x})\equiv \max \{v\geq 0| {\bf p}'{\bf x} \geq e(\mathbf{p},v)\} \]

  1. 计算可行的集合

\[ {\bf U_{p,x}}=\{v|{\bf p 'x} \geq e(\mathbf{p},v) \} \]

  1. 计算所有可能性集合的交集 (关于价格 \(\mathbf{p}\) 取交集) \[ {\bf U_x}=\bigcap_{\mathbf{p}} {\bf U_{p,x}} \]

  2. 找到其中最大的元素 \[ u(\mathbf{x})=\max {\bf U_x} \]

例子

例子来源于 JR 5.16, 题目如下: \[ e(\mathbf{p}, u)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{3}\left(p_{1}+p_{2}\right) u & \text { for } p_{2} / 2<p_{1}<2 p_{2} \\ u p_{2} & \text { for } p_{1} \geq 2 p_{2} \\ u p_{1} & \text { for } p_{1} \leq p_{2} / 2 \end{array}\right. \] 这里的支出函数是分段的,就很不好看出效用函数。我们按照上面的方法,再进行分类讨论。

  1. \(p_{2} / 2<p_{1}<2 p_{2}\) 时,我们有 \[ e(\mathbf{p}, u)=\frac{1}{3}(p_1+p_2)u \leq p_1x_1+p_2x_2. \] 也就是 \[ u\leq \frac{3(p_1x_1+p_2x_2)}{p_1+p_2} \]\(t=p_1/p_2\), 则 \(\frac12 \leq t \leq 2\), 从而 \[ u\leq \frac{3(tx_1+x_2)}{t+1}=3x_1+\frac{3(x_2-x_1)}{t+1}, \quad \forall t \in [0.5,2] \]
  • \(x_2-x_1>0\) 时,有

\[ u \leq 3x_1+x_2-x_1=2x_1+x_2 \]

  • \(x_2-x_1<0\)时,有 \[ u\leq 3x_1+2(x_2-x_1)=x_1+2x_2 \] 综合上述两种情况,有 \[ u\leq x_1+x_2+\min\{x_1,x_2\} \]
  1. \(p_1>2p_2\) 时, 有 \[ up_2 \leq p_1x_1+p_2x_2 \] 也就是 \[ u \leq \frac{p_1}{p_2}x_1+x_2,\quad \forall \frac{p_1}{p_2}>2 \] 从而,对\(\mathbf{p}\)取交集下确界之后有 \[ u \leq 2x_1+x_2 \]

  2. \(p_1<p_2/2\) 时,有 \[ up_1\leq p_1x_1+p_2x_2 \] 从而 \[ u \leq x_1+\frac{p_2}{p_1}x_2,\quad \forall \frac{p_1}{p_2}<\frac12. \] 因此, \[ u\leq x_1+2x_2 \]

综合1,2与3, 有 \[ u \leq x_1+x_2+\min\{x_1, x_2\}. \] 再取最大值,有 \[ u(\mathbf{x})=x_1+x_2+\min\{x_1, x_2\}=\max\{x_1,x_2\}+2\min\{x_1,x_2\} \] 聪明的你,是否学会了呢?


文章作者: sukanka
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